Question

12．如图，已知直线l的解析式为y=x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点．
（1）写出A、B两点的坐标；
（2）又知点C（-2，0），请在直线l上找一点P，使得OP+CP的值最小，求P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）把x=0，y=0代入解答即可；
（2）根据轴对称的性质解答即可．

解答 解：（1）把x=0代入y=x+4=4，点A的坐标为（0，4）；
把y=0代入y=x+4，解得：x=-4，点B的坐标为（-4，0），
（2）点O关于l的轴对称点O'（-4，4），
连接O'C交l于点P，
则OP+CP=O'P+CP=O'C=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}=2\sqrt{5}$为最小，
设经过O'、C两点的直线解析式为y=mx+n，
将O'（-4，4），（-2，0）分别代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{4=-4m+n}\\{0=-2m+n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=-4}\end{array}\right.$，
所以经过O'、C两点的直线解析式为y=-2x-4，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+4}\\{y=-2x-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{8}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$．
所以点P的坐标为（$-\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$）．

点评 本题考查了轴对称的问题，关键是根据直线的交点坐标解答．