Question

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P的圆心P为（-3，a），⊙P与y轴相切于点C．直线y=-x被⊙P截得的线段AB长为4$\sqrt{2}$，则过点P的双曲线的解析式为y=-$\frac{3\sqrt{2}+9}{x}$．

Answer 1

分析 作PH⊥x轴于H，交直线y=-x于E，作PD⊥AB于D，连结PC、PA，如图，根据切线的性质得PC⊥y轴，则PC=PA=OH=3，再根据垂径定理，由PD⊥AB得AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，则可根据勾股定理计算出PD=1，接着利用直线y=-x为第二、四象限的角平分线可判断△HOB和△PDE都为等腰直角三角形，所以EH=OH=3，PE=$\sqrt{2}$PD=$\sqrt{2}$，则P（-3，$\sqrt{2}$+3），然后利用待定系数法求过点P的双曲线的解析式．

解答 解：作PH⊥x轴于H，交直线y=-x于E，作PD⊥AB于D，连结PC、PA，如图，
∵⊙P与y轴相切于点C，
∴PC⊥y轴，
而P（-3，a），
∴PC=3，即⊙P的半径为3，
∴PA=OH=3，
∵PD⊥AB，
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
在Rt△PAD中，PD=$\sqrt{P{A}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=1，
∵直线y=-x为第二、四象限的角平分线，
∴∠HOB=45°，
易得△HOB和△PDE都为等腰直角三角形，
∴EH=OH=3，PE=$\sqrt{2}$PD=$\sqrt{2}$，
∴PH=PE+EH=$\sqrt{2}$+3，
∴P（-3，$\sqrt{2}$+3），
设过点P的双曲线的解析式为y=$\frac{k}{x}$，
把P（-3，$\sqrt{2}$+3）代入得k=-3（$\sqrt{2}$+3）=-3$\sqrt{2}$-9，
∴过点P的双曲线的解析式为y=-$\frac{3\sqrt{2}+9}{x}$．
故答案为y=-$\frac{3\sqrt{2}+9}{x}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了垂径定理、等腰直角三角形的性质和待定系数法求反比例函数解析式．