Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点的坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线l绕点C顺时针旋转90°，交x轴于点Q，y轴上有一点P（0，t），过点P作x轴的平行线交AC于点M，交CQ于点N，设MN的长度为y，求y与t之间的函数关系式；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后求出直线l绕点C顺时针旋转90°后的解析式，得出y与t之间的函数关系式；
（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），
∴

a+b+3=0 16a+4b+3=3

，
解得：

a=1 b=-4

，
所以，抛物线的解析式为y=x²-4x+3；

（2）如图1，
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

k+b=0 4k+b=3

，
解得：

k=1 b=-1

，
所以，直线AC的解析式为y=x-1，
∵将直线l绕点C顺时针旋转90°，
∴设直线QC的解析式为：y=-x+d，
将（4，3）代入得；3=-4+d，
解得：d=7，
故直线QC的解析式为：y=-x+7，
∵P（0，t），当t＞3时，
则M（x，t），N（x₁，t），故t=x+7，t=-x₁+7，
则x=t-7，x₁=7-t，
故MN=t-7-（7-t）=2t-14，
设MN的长度为y，故y与t之间的函数关系式为：y=2t-14；
同理可得；当t＜3时，
则M（x，t），N（x₁，t），故t=x+7，t=-x₁+7，
则x=t-7，x₁=7-t，
故MN=（7-t）-（t-7）=-2t+14，
设MN的长度为y，故y与t之间的函数关系式为：y=-2t+14，
当t=3，则y=0，
综上所述：当t＞3时，y与t之间的函数关系式为：y=2t-14；
当t＜3时，y与t之间的函数关系式为：y=-2t+14，
当t=3，则y=0；

（3）如图2，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，
联立

y=x+m y=x2-4x+3

，
消掉y得，x²-5x+3-m=0，
△=（-5）²-4×1×（3-m）=0，
即m=-

13

4

时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，
此时x=

5

2

，y=

5

2

-

13

4

=-

3

4

，
∴点E的坐标为（

5

2

，-

3

4

），
设过点E的直线与x轴交点为F，则F（

13

4

，0），
∴AF=

13

4

-1=

9

4

，
∵直线AC的解析式为y=x-1，
∴∠CAB=45°，
∴点F到AC的距离为AF•sin45°=

9

4

×

2

2

=

9 2

8

，
又∵AC=

32+(4-1)2

=3

2

，
∴△ACE的最大面积=

1

2

×3

2

×

9 2

8

=

27

8

，此时E点坐标为（

5

2

，-

3

4

）．

点评：本题考查了二次函数综合题以及待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题．