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    如图，在平面直角坐标系中，动点P从点A（0，10）出发，以3个单位/秒的速度沿y轴向点O匀速运动，动点Q从点B（5，0）同时出发，以1单位/秒的速度沿x轴向点O匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒．以P、Q为圆心作⊙P和⊙Q，且⊙P和⊙Q的半径分别为4和1．
    （1）若⊙P与Rt△AOB的一边相切，求此时动点P的坐标；
    （2）若⊙P与线段AB有两个公共点，求t的取值范围；
    （3）是否存在某一时刻t，使⊙Q与Rt△AOB的边AB相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
    考点：圆的综合题
    专题：综合题
    分析：（1）①若⊙P与AB相切于点H，连接PH，如图1①，易证△AHP∽△AOB，根据相似三角形的性质就可求出t的值，就可得到点P的坐标；若⊙P与OB相切于点O，如图1②，容易求出OP的值，就可得到点P的坐标．
    （2）若⊙P与线段AB有两个公共点，过点P作PH⊥AB于点H，如图2，根据相似三角形的性质可得到PH的长（用t的代数式表示），由⊙P与线段AB有两个公共点可得AP≥4且PH＜4，由此就可求出t的取值范围．
    （3）若⊙Q与Rt△AOB的边AB相切于点G，连接QG，如图3，根据相似三角形的性质可求出t的值．
    解答：解：（1）①若⊙P与AB相切于点H，连接PH，如图1①，

    则PH⊥AB于点H．
    ∵A（0，10）即OA=10，B（5，0）即OB=5，∠AOB=90°，
    ∴AB=
    		OA2+OB2
    =
    		100+25
    =5
    		5
    ．
    ∵∠AHP=∠AOB=90°，∠PAH=∠BAO，
    ∴△AHP∽△AOB，
    ∴
    PH
    OB
    =
    AP
    AB
    ．
    ∵PH=4，AP=3t，
    ∴
    4
    5
    =
    3t
    5
    		5
    ，∴t=
    4
    		5
    3
    ．
    此时OP=OA-AP=10-4
    		5
    ，点P的坐标为（0，10-4
    		5
    ）．
    ②若⊙P与OB相切于点O，如图1②，

    则有OP=4，点P的坐标为（0，4）．
    综上所述：当⊙P与Rt△AOB的一边相切时，点P的坐标为为（0，10-4
    		5
    ），（0，4）．

    （2）若⊙P与线段AB有两个公共点，过点P作PH⊥AB于点H，如图2，

    ∵A（0，10）即OA=10，B（5，0）即OB=5，∠AOB=90°，
    ∴AB=
    		OA2+OB2
    =
    		100+25
    =5
    		5
    ．
    ∵∠AHP=∠AOB=90°，∠PAH=∠BAO，
    ∴△AHP∽△AOB，
    ∴
    PH
    OB
    =
    AP
    AB
    ，∴
    PH
    5
    =
    3t
    5
    		5
    ，
    ∴PH=
    3
    		5
    5
    t．
    ∵⊙P与线段AB有两个公共点，
    ∴
    3t≥4
    3
    		5
    5
    t＜4
    ，
    解得：
    4
    3
    ≤t＜
    4
    		5
    3
    ．
    ∴当⊙P与线段AB有两个公共点时，t的取值范围为
    4
    3
    ≤t＜
    4
    		5
    3
    ．

    （3）若⊙Q与Rt△AOB的边AB相切于点G，连接QG，如图3，

    则有QG⊥AB．
    ∵∠QGB=∠AOB=90°，∠GBQ=∠OBA，
    ∴△BGQ∽△BOA，
    ∴
    QG
    AO
    =
    QB
    AB
    ，
    ∴
    1
    10
    =
    t
    5
    		5
    ，
    ∴t=
    		5
    2
    ．
    此时
    		5
    2
    ＜
    10
    3
    ，符合要求．
    ∴当t=
    		5
    2
    时，⊙Q与Rt△AOB的边AB相切．
    点评：本题主要考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解不等式组等知识，运用相似三角形的性质是解决本题的关键．
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