Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△ABC是否为直角三角形，并给出理由；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABCD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标，并求出此时四边形ABCD的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式列出关于a、b、c的方程组，通过解方程组可以求得它们的值；
（2）利用点A、B、C的坐标求得相关线段的长度，然后由勾股定理的逆定理进行判断；
（3）设D（m，m²-2m-3），连接OD，把四边形ABDC的面积分成△AOC，△DOC，△DOB的面积和，求表达式的最大值．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），
∴

a-b+c=0 9+3b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=-2 c=-3

，
则该抛物线的解析式为：y=x²-2x-3；

（2）△ABC不是直角三角形．理由如下：
∵A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3），
∴AB²=16，AC²=10，BC²=18，
∴BC²≠AB²+AC²，
∴△ABC不是直角三角形；

（3）如图，设D（m，m²-2m-3），连接OD．
则0＜m＜3，m²-2m-3＜0
且△AOC的面积=

3

2

，△DOC的面积=

3

2

m，
△DOB的面积=-

3

2

（m²-2m-3），
∴S_{四边形ABDC}=S_△AOC+S_△DOC+S_△DOB
=-

3

2

m²+

9

2

m+6
=-

3

2

（m-

3

2

）²+

75

8

．
∴存在点D（

3

2

，-

15

4

），使四边形ABDC的面积最大为

75

8

．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及不规则图形面积的求法等二次函数综合题型．解答（3）题时，也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面积转化为求一个梯形与两个直角三角形面积的和．