Question

【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°．

（1）求证：AB=AC；并请你用文字叙述直角三角形的这条性质，把它写在下列横线上：

；

（2）利用（1）题所得结论继续解答下列问题：

如图2，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连结DE、EF．

①求证：四边形AEFD是平行四边形；

②当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②或4．

【解析】试题分析：(1)延长AB至P，使BP=AB，连结PC,证明PA=CA ,所以AB= .

(2) ①证明AE,DF平行且相等. ②需分类讨论，当∠EDF=90°时，令△AED是直角三角形，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE．求t值.当∠EFD=90°时，2AD=AE．求t值.

试题解析：

（1）证明：延长AB至P，使BP=AB，连结PC,

∵ ∠ABC=90°，

∴BC是AP的垂直平分线,

∴AC=CP,

∵∠C=30°,

∴ ∠A=60°,

∴PA=CA,

∴,

这条性质是：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；

（2）①在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t，

又∵AE=t，∴AE=DF，

∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF

又AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形．

②解得AB=5，AC=10

当∠EDF=90°时，

在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE．即10-2t=2t， ，

当∠DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，

∴∠ADE=∠DEF=90°．

∵∠A=90°-∠C=60°，

∴2AD=AE，

即

当∠EFD=90°时，此种情况不存在，

综上所述，当或4时，△DEF为直角三角形．