Question

7．已知关于x的方程（1-2k）x²-$\sqrt{k+1}$x-1=0有实数根，求k的取值范围．

Answer 1

分析 分类讨论：当1-2k=0时，方程化为一元一次方程-$\frac{\sqrt{6}}{2}$x-1=0，此方程实数解；当1-2k≠0时，方程为一元二次方程，根据二次根式有意义的条件和判别式的意义得到k+1≥0且△=（$\sqrt{1+k}$）²-4（1-2k）•（-1）≥0，解得-1≤k≤$\frac{5}{7}$且k≠$\frac{1}{2}$，然后综合两种情况即可得到k的取值范围．
所以k的取值范围为-1≤k≤$\frac{5}{7}$．

解答 解：当1-2k=0时，方程化为-$\frac{\sqrt{6}}{2}$x-1=0，此一元一次方程有实数解；
当1-2k≠0时，k+1≥0且△=（$\sqrt{1+k}$）²-4（1-2k）•（-1）≥0，解得-1≤k≤$\frac{5}{7}$且k≠$\frac{1}{2}$
所以k的取值范围为-1≤k≤$\frac{5}{7}$．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．注意分类讨论．