Question

已知：如图七，二次函数图像经过点A（－6，0），

B（0，6），对称轴为直线x＝－2，顶点为点C，点B

关于直线x＝－2的对称点为点D．

（1）求二次函数的解析式以及点C和点D的坐标；

（2）联结AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，

联结DE，若DE平分四边形ABCD的面积，求线段AE

的长；

（3）在二次函数的图像上是否存在点P，能够使∠PCA＝∠BAC？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

解：（1）∵二次函数图像经过点A（－6，0），B（0，

6），对称轴为直线x＝－2，

∴二次函数图像经过点（2，0），………………（1分）

设二次函数的解析式为y＝a（x－2）（x＋6），

∴6＝a（0－2）（0＋6），∴a＝－，………………（1分）

∴二次函数的解析式为y＝－（x－2）（x＋6），即y＝－x²－2x＋6，

∴点C（－2，8）、D（－4，6）．………………（2分）

（2）如图，AB＝6，BC＝CD＝2，BD＝4，

∴∴∠DCB＝90°．……（1分）

∵直线AB、CD的解析式分别为y＝x＋6、y＝x＋10，∴AB∥DC，

∴四边形ABCD是直角梯形，………………（1分）

若S_梯形ABCD＝2S_△ADE，即×2（2＋6）＝2××2AE，

∴AE＝4．………………（2分）

y