Question

【题目】已知矩形AOBC的边AO、OB分别在y轴、x轴正半轴上，点C的坐标为（8，6），点E是x轴上任意一点，连接EC，交AB所在直线于点F，当△ACF为等腰三角形时，EF的长为_____．

Answer 1

【答案】5或或．

【解析】

△ACF是等腰三角形，需要分三种情况进行讨论求解.

解：△ACF为等腰三角形有三种情况：

①如图①，当AF＝CF时，点E与点O重合，

由题意得OB＝8，BC＝6，

∴由勾股定理得OC＝10，

∵四边形AOBC为矩形，

∴EF＝5；

②如图②，当AF＝AC＝8时，

由①可知OC＝10，

∵四边形AOBC为矩形，

∴AB＝OC＝10，AC∥OB，

∴△AFC∽△BFE，

∴＝＝，

∴BE＝BF＝10﹣8＝2，

∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE＝＝，

∴＝＝4，

∴EF＝CE＝；

③如图③，当CF＝AC＝8时，过点C作CD⊥AF于点D，

∴AD＝DF，

∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，

∴CD＝＝，

∴在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD＝＝，

∴BD＝AB﹣AD＝10﹣＝，DF＝AD＝，AF＝，BF＝DF﹣BD＝，

∵AC∥OE，

∴△AFC∽△BFE，

∴＝，

∴＝，

∴BE＝，

∵CF＝AC，

∴EF＝BE，

∴EF＝．

综上所述，EF的长为5或或．

故答案为：5或或．