【题目】（2017广东省广州市，第24题，14分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）连接AE，若AB=6cm，BC=
cm．
①求sin∠EAD的值；
②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．
【答案】（1）见解析；（2）①
；②AP的长为
，点Q走完全程所需的时间为3s．
【解析】
（1）只要证明四边相等即可证明；
（2）①设AE交CD于K．由DE∥AC，DE=OC=OA，推出
=
=
，由AB=CD=6，可得DK=2，CK=4，在Rt△ADK中，可以求出AK的长，根据sin∠DAE=
计算即可解决问题；
②作PF⊥AD于F．易知PF=APsin∠DAE=AP，因为点Q的运动时间t=
=OP+AP=OP+PF，所以当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF是△ACD的中位线，由此即可解决问题．
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OB=OC=OA，
∵△EDC和△ODC关于CD对称，
∴DE=DO，CE=CO，
∴DE=EC=CO=OD，
∴四边形CODE是菱形．
（2）①设AE交CD于K．
∵四边形CODE是菱形，
∴DE∥AC，DE=OC=OA，
∴==．
∵AB=CD=6，
∴DK=2，CK=4，
在Rt△ADK中，AK=
=
=3，
∴sin∠DAE==；
②作PF⊥AD于F．易知PF=APsin∠DAE=
AP，
∵点Q的运动时间t==OP+AP=OP+PF，
∴当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF是△ACD的中位线，
∴OF=CD=3．AF=AD=
，PF=DK=1，
∴AP=
=，
∴当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，AP的长为，点Q走完全程所需的时间为3s．
金钥匙试卷系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】某中学为了解学生对新闻、体育、娱乐、动画四类电视节目的喜爱情况，进行了统计调查．随机调查了某班所有同学最喜欢的节目（每名学生必选且只能选择四类节目中的一类）并将调查结果绘成如下不完整的统计图．根据两图提供的信息，回答下列问题：
（1）最喜欢娱乐类节目的有 人，图中
；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据抽样调查结果，若该校有2000名学生，请你估计该校有多少名学生最喜欢娱乐类节目；
（4）在全班同学中，有甲、乙、丙、丁等同学最喜欢体育类节目，班主任打算从甲、乙、丙、丁4名同学中选取2人参加学校组织的体育知识竞赛，请用列表法或树状图求同时选中甲、乙两同学的概率．
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【题目】为了考查学生的综合素质，某市决定：九年级毕业生统一参加中考实验操作考试，根据今年的实际情况，中考实验操作考试科目为：
（物理）、
（化学）、
（生物），每科试题各为
道，考生随机抽取其中
道进行考试．小明和小丽是某校九年级学生，需参加实验考试．
（1）小明抽到化学实验的概率为 ；
（2）若只从考试科目考虑，小明和小丽抽到不同科目的概率为多少？
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【题目】某初中学生为了解该校学生喜欢球类活动的情况，随机抽取了若干名学生进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的球类），并将调査的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题
（1）参加调査的学生共有 人，在扇形图中，表示“其他球类”的扇形圆心角为 度；
（2）将条形图补充完整；
（3）若该校有2300名学生，则估计喜欢“足球”的学生共有 人．
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【题目】如图，先有一张矩形纸片
点
分别在矩形的边
上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点
落在矩形的边
上，记为点
，点
落在
处，连接
，交
于点
，连接
．下列结论：
②四边形
是菱形；
③
重合时，
；
④
的面积
的取值范围是
其中正确的是_____（把正确结论的序号都填上）．
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【题目】如图，在△ABC中，
，BC为
的直径，D为任意一点，连接AD交BC于点F，EA⊥AD交DB的延长线于E，连接CD．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）填空：①当∠CAD的度数为 时，四边形ABDC是正方形；
②若四边形ABDC的面积为4，则AD的长为 ．
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【题目】已知矩形AOBC的边AO、OB分别在y轴、x轴正半轴上，点C的坐标为（8，6），点E是x轴上任意一点，连接EC，交AB所在直线于点F，当△ACF为等腰三角形时，EF的长为_____．
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【题目】如图所示，正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE，作AE的垂直平分线交AB于G，交CD于F，若BG＝2BE，则DF：CF的长为（ ）
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图，抛物线L: 
（常数t＞0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线
于点P，且OA·MP=12.
（1）求k值；
（2）当t=1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；
（3）把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最高点的坐标；
（4）设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围.
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