Question

【题目】如图，抛物线L: （常数t＞0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线于点P，且OA·MP=12.

（1）求k值；

（2）当t=1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；

（3）把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最高点的坐标；

（4）设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）6；（2）；（3）当t-2≤，即t≤4时，顶点（t-2，2）就是G的最高点；当t＞4时，L与MP的交点（）就是G的最高点.（4）.

【解析】

试题分析：（1）设设点P（x，y），则MP=y，由OA的中点为M知OA=2x，代入OA·MP=12，即可得xy=6，即k=6；（2）当t=1时，令y=0,0=，解得.即可得AB=4，求得抛物线的对称轴，根据点M的坐标即可得直线MP与L对称轴之间的距离；（3）由抛物线的解析式可得A（t，0），B（t-4,0），即可得抛物线的对称轴为x=t-2，又因MP为直线x=，当t-2≤，即t≤4时，顶点（t-2，2）就是G的最高点；当t＞4时，L与MP的交点（）就是G的最高点.（4）对双曲线，当4≤x0≤6时，1≤y≤，即L与双曲线C（4，），D（6,1）之间的一段有个交点.①由=，解得；②由1=，解得；随着t的逐渐增大，L的位置随着点A（t，0）向右平移，如图3所示.当t=5时，L右侧过点C；当时，L右侧过点D；即.当时，L右侧离开了点D，而左侧未到点C，即L与该段无交点，舍去.当t=7时，L左侧过点C；当时，L左侧过点D；即.

试题解析：（1）设点P（x，y），则MP=y，

由OA的中点为M知OA=2x，代入OA·MP=12，

得，即xy=6，

∴k=xy=6.

（2）当t=1时，令y=0,0=，∴.

∴由B在A的左边，得B（-3,0），A（1,0），∴AB=4.

∵L的对称轴为x=-1，而M（，0），

∴MP与L对称轴的距离为.

（3）∵A（t，0），B（t-4,0），

∴L的对称轴为x=t-2，

又MP为x=，

当t-2≤，即t≤4时，顶点（t-2，2）就是G的最高点；

当t＞4时，L与MP的交点（）就是G的最高点.

（4）.