Question

【题目】在平面直角坐标系中，点D是抛物线 的顶点，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）．

（1）求点A，B的坐标；

（2）若M为对称轴与x轴交点，且DM=2AM，求抛物线表达式；

（3）当30°<∠ADM<45°时，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）A（－1,0），B（3,0）．（2）抛物线的表达式为．（3）<a<．

【解析】

（1）解关于x的方程，结合点A在点B的左侧，即可求得点A和点B的坐标；

（2）由（1）中结果易得抛物线的对称轴为直线x=1，顶点D坐标为（1，-4a），由此可得点M的坐标为（1，0），AM=2，这样结合DM=2AM即可得到关于a的方程，解方程求得a的值即可求得此时抛物线的解析式；

（3）画出图形如下图所示，由∠ADM=30°和∠ADM=45°可得和AM=DM，结合（2）中所得AM=2，MD=0-(-4a)=4a即可得到对应的关于a的方程，解方程即可求得对应的a的值.

（1）令y=0，得，

解得，x2=3．

∴A（－1,0），B（3,0）．

（2）∵抛物线与x轴的交点为A（－1，0），B（3，0），

∴抛物线对称轴为x=1，

∴AM=2，

∵DM=2AM，

∴DM=4．

∵当x=1时，y=-4a，

∴点D的坐标为（1，-4a），

∴0-（-4a）=4，解得a=1，

∴抛物线的表达式为；

（3）图下图所示，

当∠ADM=45°时，由题意可得AM=DM，

∵AM=2，DM=0-(-4a)=4a，

∴4a=2，解得：；

当∠ADM=30°时，由题意易得，

∵AM=2，DM=0-(-4a)=4a，

∴，解得：.

综上可得当30°<∠ADM<45°时，.