Question

已知：如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝kx＋b与x轴、y轴分别交与点A、B，与双曲线y＝相交于C、D两点，且点D的坐标为（1，6）.

（1）当点C的横坐标为2时，试求直线AB的解析式，并直接写出的值为     .

（2）如图2，当点A落在x 轴的负半轴时，过点C作x轴的垂线，垂足为E，过点D作y轴的垂线，垂足为F，连接EF.①判断ΔEFC的面积和ΔEFD的面积是否相等，并说明理由；②当＝2时，求tan∠OAB的值.

 

Answer 1

【答案】

⑴，⑵①见解析②2

【解析】（1）∵D（1，6）在y=上，

∴m=6，即双曲线解析式是 y=，----------1分

当C点横坐标为2时，纵坐标为3，故C(2，3).

直线AB过点C（2,3）,D（1,6），得

，k=-3,b=9，故直线AB的解析式为y=-3x+9.-----3分

的值为----------------4分

（2）①设C(a,b),则ab=6,

∵S_ΔEFC=(-a)(-b)= ab=3，----------------5分

而S_ΔEFD＝×1×6＝3，

∴S_ΔEFC=S_ΔEFD--------------------6分

②由S_ΔEFC=S_ΔEFD

知EF∥CD，易知DFEA，FBCE都是平行四边形，--------------7分

∴CE=BF，易知三角形DFB与三角形AEC全等，

∴AC=BD，-----------------9分

∵=2，设CD=2k，AB=k,DB=,

 

∴,由ΔDFB∽ΔAOB，知OA=2，且, -------10分

∴OB=4, ∴tan∠OAB= .------ ------11分

 

图1                                    图2

（1）首先由点D可求出双曲线的解析式，再由点C的横坐标为2时求出它的纵坐标，即可求出直线AB的解析式，利用勾股定理求出AB、CD的长

（2）利用C、D点的坐标，判断ΔEFC的面积和ΔEFD的面积相等；通过三角形DFB与三角形AEC全等，求得AC=BD，从而求得ΔDFB∽ΔAOB，根据相似比求得tan∠OAB的值.