Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在CD边的延长线上，且满足∠MAN＝90°，联结MN、AC，MN与边AD交于点E．

（1）求证：AM＝AN；

（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AM2＝ACAE；

（3）MN和AC相交于O点，若BM＝1，AB＝3，试猜想线段OM，ON的数量关系并证明．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）ON＝2OM，理由见详解

【解析】

（1）由正方形的性质可得AB＝AD，由“ASA”可证△ABM≌△ADN，可得AM＝AN；

（2）由题意可得∠CAM＝∠NAD＝22.5°，∠ACB＝∠MNA＝45°，即可证△AMC∽△AEN，即可证AM2＝AEAC；

（3）先求出AM，进而求出MF＝NF＝BF＝，再判断出△ABM∽△AFO，进而求出FO，即可得出结论．

证明（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠CAD＝45°＝∠ACB，∠BAD＝90°＝∠CDA＝∠B，

∴∠BAM+∠MAD＝90°，

∵∠MAN＝90°，

∴∠MAD+∠DAN＝90°，

∴∠BAM＝∠DAN，

∵AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90°，

∴△ABM≌△ADN（ASA）

∴AM＝AN；

（2）∵AM＝AN，∠MAN＝90°

∴∠MNA＝45°，

∵∠CAD＝2∠NAD＝45°，

∴∠NAD＝22.5°

∴∠CAM＝∠MAN﹣∠CAD﹣∠NAD＝22.5°

∴∠CAM＝∠NAD，∠ACB＝∠MNA＝45°，

∴△AMC∽△AEN，

∴，

∴AMAN＝ACAE，

∵AN＝AM，

∴AM2＝ACAE；

（3）ON＝2OM，理由：如图，

在Rt△ABM中，AM＝1，AB＝3，

根据勾股定理得，BM＝＝，

过点B作BF⊥MN于F，

∴∠OFB＝∠A＝90°，

由（1）知，AM＝AN，

∵∠MBN＝90°，

∴FB＝NF＝MF＝＝，∠MBF＝45°，

∵AC是正方形ABCD的对角线，

∴∠ABC＝45°＝∠MBF，

∴∠ABM＝∠FBO，

∴△ABM∽△FBO，

∴，

∴，

∴FO＝，

∴OM＝MF﹣FO＝，ON＝NF+FO＝，

∴ON＝2OM．