Question

【题目】如图，P（m，n）是抛物线y=﹣+1上任意一点，l是过点（0，2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H，PH交x轴于Q．

（1）（探究）填空：当m=0时，OP=　 　，PH=　 　；当m=4时，OP=　 　，PH=　 　．

（2）（证明）对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．

（3）（应用）当OP=OH，且m≠0时，求P点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）1，1，5，5；（2）OP=PH；（3）P（2，﹣2）或（﹣2，﹣2）．

【解析】

（1）根据勾股定理，可得OP的长，根据点到直线的距离，可得可得PH的长；

（2）根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据勾股定理，可得PO的长，根据点到直线的距离，可得PH的长；

（3）当OP=OH，且m≠0时，由（2）可知△OPH是等边三角形，进而求得∠HOQ=30°，解直角三角形即可求得．

解：（1）当m=0时，P（0，1），OP=1，PH=2﹣1=1；

当m=4时，y=﹣3，P（4，﹣3），OP==5，PH=2﹣（﹣3）=5，

故答案为：1，1，5，5；

（2）猜想：OP=PH，

证明：PH交x轴与点Q，

∵P在y=﹣x2+1上，

∴设P（m，﹣m2+1），PQ=|﹣x2+1|，OQ=|m|，

∵△OPQ是直角三角形，

∴OP====m2+1，

PH=2﹣yp=2+m2﹣1=m2+1

OP=PH．

（3）∵OP=PH，

∴当OP=OH，三角形OPH是等边三角形，

∵OQ⊥PH，

∴∠HOQ=30°，

∴OQ=HQ=2，

∴P点的横坐标为±2，

∴P（2，﹣2）或（﹣2，﹣2）．