Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为点E．

(1)求抛物线的解析式；

(2)经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当点P运动到点E时，求△PCD的面积；

(3)点N在抛物线对称轴上，点M在x轴上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣x+2x+3；(2)1;(3)见解析.

【解析】

（1）由点 A，C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；(2)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 B 的坐标，利用配方法可求出顶点 E 的坐标，由点 B，C 的坐标，利用待定系数法可求出直线 BC 的解析式， 利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点 D 的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出当点 P 运动到点 E 时△PCD 的面积；(3)设点 M 的坐标为（m，0），点 N 的坐标为（1，n），分四边形 CBMN 为平行四边形、四边形 CMNB 为平行四边形及四边形 CMBN 为平行四边形三种情况，利用平行四边形的性质找出关于 m 的一元一次方程，解之即可得出结论．

（1）将 A（﹣1，0），C（0，3）代入 y=ax2+2x+c，得：

，解得： ，

∴抛物线的解析式为 y=﹣x2+2x+3．

（2）当 y=0 时，有﹣x2+2x+3=0， 解得：x1=﹣1，x2=3，

∴点 B 的坐标为（3，0）．

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴点 E 的坐标为（1，4）．

设过 B，C 两点的直线解析式为 y=kx+b（k≠0），将 B（3，0），C（0，3）代入 y=kx+b，得：,解得： ，

∴直线 BC 的解析式为 y=﹣x+3．

∵点 D 是直线与抛物线对称轴的交点，

∴点 D 的坐标为（1，2），

∴DE=2，

∴当点 P 运动到点 E 时，△PCD 的面积=×2×1=1．

（3）设点 M 的坐标为（m，0），点 N 的坐标为（1，n）．分三种情况考虑：

①当四边形 CBMN 为平行四边形时，有 1﹣0=m﹣3， 解得：m=4，

∴此时点 M 的坐标为（4，0）；

②当四边形 CMNB 为平行四边形时，有 m﹣1=0﹣3， 解得：m=﹣2，

∴此时点 M 的坐标为（﹣2，0）；

③当四边形 CMBN 为平行四边形时，有 0﹣1=m﹣3， 解得：m=2，

∴此时点 M 的坐标为（2，0）．

综上所述：存在这样的点 M 与点 N，使以 M，N，C，B 为顶点的四边形是平行四边形，点 M 的坐标为（4，0）或（﹣2，0）或（2，0）．