Question

20．如图，矩形ABCD中，AB=2cm，BC=5cm，两动点P、Q分别同时从顶点D、B出发，以1cm/s的速度沿边DA、BC方向向点A、C运动（端点不计），设运动时间为t（s），连接AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于点E，作PF∥AQ交DQ于点F．
（1）求证：△APE∽△PDF；
（2）填空：
①当t=2.5s时，四边形PEQF为菱形；
②当t=1或4s时，四边形PEQF为矩形．

Answer 1

分析 （1）由PE∥DQ得到∠APE=∠PDF，由PF∥AQ得到∠PAE=∠DPF，于是可判断△APE∽△PDF；
（2）①当点P和点Q分别运动到AD和BC的中点时，先利用PE∥DQ，PF∥AQ可判断四边形PEQF为平行四边形，由于点P为AD的中点，则AP=DP，接着根据△APE∽△PDF，利用相似比为1即可判断△APE≌△PDF，则PE=PF，于是得到四边形PEQF为菱形此时t=2.5s；
②当∠AQD=90°时，四边形PEQF为矩形，证明Rt△ABQ∽Rt△QCD，利用相似比得$\frac{2}{5-t}$=$\frac{t}{2}$，解得t=1或4，即t=1或4s时，四边形PEQF为矩形．

解答 （1）证明：∵PE∥DQ，
∴∠APE=∠PDF，
∵PF∥AQ，
∴∠PAE=∠DPF，
∴△APE∽△PDF；
（2）解：①当点P和点Q分别运动到AD和BC的中点时，即t=2.5s，四边形PEQF为菱形．理由如下：
∵PE∥DQ，PF∥AQ，
∴四边形PEQF为平行四边形，
∵点P为AD的中点，
∴AP=DP，
而△APE∽△PDF，
∴△APE≌△PDF，
∴PE=PF，
∴四边形PEQF为菱形；
②当∠AQD=90°时，四边形PEQF为矩形，
则∠AQB=∠QDC，
∴Rt△ABQ∽Rt△QCD，
∴$\frac{AB}{CQ}$=$\frac{BQ}{DC}$，即$\frac{2}{5-t}$=$\frac{t}{2}$，解得t=1或4，
即t=1或4s时，四边形PEQF为矩形．
故答案为2.5s；1或4．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了菱形的判定与矩形的判定．