Question

10．如图，已知A（-1，0），B（9，0），以AB为直径的圆P交y轴负半轴于C，连接AC，BC，
（1）求过A，B，C三点的抛物线；
（2）点E是AC延长线上的一点，∠BCE的平分线CD交圆于D，连接BD，求直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点M，使得∠MDB=∠CBD？存在，请求出M坐标；不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）证△OAC∽△OCB得C（0，-3），再根据A（-1，0）、B（9，0）和C（0，-3）三点坐标用待定系数法可求得解析式；
（2）由CD平分∠BCE得∠BCD=$\frac{1}{2}$∠BCE=$\frac{1}{2}$∠DO'B=45°即∠DO'B=90°，进而知D（4，-5），用待定系数法可求得直线解析式；
（3）假设在抛物线上存在点M使得∠MDB=∠CBD，则$\widehat{BQ}=\widehat{CD}$，分两种情况：①把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q₁重合，此时点Q₁（7，-4），求出直线DQ₁解析式，根据直线DQ₁和抛物线解析式联立方程组可得点M坐标；②点Q₁关于x轴对称的点的坐标为Q₂（7，4）也符合$\widehat{BQ}=\widehat{CD}$，求出直线DQ2解析式，根据直线DQ₂和抛物线解析式可得点M坐标．

解答 解：（1）AB是⊙O'的直径，
∴AC⊥BC，
又∵OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB，
∴$\frac{AO}{CO}=\frac{CO}{BO}$，
∴CO=$\sqrt{AO•BO}$=3，
∴C（0，-3），
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线过A（-1，0）、B（9，0）和C（0，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{81a+9b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{8}{3}}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
故抛物线解析式为：y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-3；
（2）如图1，连结O'D，

∵CD平分∠BCE，
∴∠BCD=$\frac{1}{2}$∠BCE=$\frac{1}{2}$∠DO'B=45°，
∴∠DO'B=90°，
 又DO'=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴D（4，-5），
设直线BD的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{9k+b=0}\\{4k+b=-5}\end{array}\right.$  解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-9}\end{array}\right.$
故直线BD的解析式为y=x-9；
（3）假设在抛物线上存在点M，使得∠MDB=∠CBD，
设射线DM交⊙O′于点Q，则$\widehat{BQ}=\widehat{CD}$．
分两种情况（如图2所示）：

①∵O′（4，0），D（4，-5），B（9，0），C（0，-3）．
∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q₁重合，
因此，点Q₁（7，-4）符合$\widehat{BQ}=\widehat{CD}$，
∵D（4，-5），Q₁（7，-4），
∴用待定系数法可求出直线DQ₁解析式为y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{19}{3}$．
解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-\frac{19}{3}}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{8}{3}x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{9+\sqrt{41}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{-29+\sqrt{41}}{6}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{9-\sqrt{41}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{-29-\sqrt{41}}{6}}\end{array}\right.$，
∴点M₁坐标为（$\frac{9+\sqrt{41}}{2}$，$\frac{-29+\sqrt{41}}{6}$），（$\frac{9-\sqrt{41}}{2}$，$\frac{-29-\sqrt{41}}{6}$）（不合题意，舍去）．
②∵Q₁（7，-4），
∴点Q₁关于x轴对称的点的坐标为Q₂（7，4）也符合$\widehat{BQ}=\widehat{CD}$．
∵D（4，-5），Q₂（7，4）．
∴用待定系数法可求出直线DQ₂解析式为y=3x-17．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-17}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{8}{3}x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=3}\\{{y}_{1}=-8}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=14}\\{{y}_{2}=25}\end{array}\right.$
∴点M₂坐标为（14，25），坐标为（3，-8）不符合题意，舍去．
∴符合条件的点P有两个：M₁（$\frac{9+\sqrt{41}}{2}$，$\frac{-29+\sqrt{41}}{6}$），M₂（14，25）．

点评 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形相似及全等、探究角相等的构成情况等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．