Question

【题目】如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．

（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；
（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2 ． 同组的小颖和小亮随后想出了相同的方法进行解决：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2）；请证明小敏的发现的是正确的．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．

∵∠DAE=45°，

∴∠BAD+∠EAC=45°．

∵∠BAD=∠DAM，

∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°，

∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC，

∴∠MAE=∠EAC，

即AE平分∠MAC

（2）

解：如图2，

连接EF．

由折叠可知，∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，

∵∠BAD=∠FAD，

由（1）可知，∠CAE=∠FAE．

在△AEF和△AEC中，

∴△AEF≌△AEC（SAS），

∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．

∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．

在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，

∴BD2+CE2=DE2

【解析】（1）根据图形、已知条件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°，所以∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；（2）应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△OCE中应用勾股定理而证明；