Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D．作∠BDE=∠ABD交AB于点E．

（1）求证：ED∥BC；

（2）点M为射线AC上一点（不与点A重合）连接BM，∠ABM的平分线交射线ED于点N．若∠MBC=∠NBC，∠BED=105°，求∠ENB的度数．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠ENB的度数为50°或30°．

【解析】

（1）利用角平分线的定义，进行等量代换，得出内错角相等，从而两直线平行；

（2）分两种情况分别进行解答，根据每一种情况画出相应的图形，依据图形中，角之间的相互关系，转化到一个三角形中，利用三角形的内角和定理，设未知数，列方程求解即可．

（1）∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

又∵∠BDE=∠ABD，

∴∠BDE=∠DBC，

∴ED∥BC；

（2）∵BN平分∠ABM，

∴∠ABN=∠NBM，

①当点M在线段AC上时，如图1所示：

∵DE∥BC，

∴∠ENB=∠NBC，

∵∠MBC=∠NBC，

∴∠NBM=∠MBC=∠NBC，

设∠MBC=x°，则∠EBN=∠NBM=x°，∠ENB=∠NBC=2x°，

在△ENB中，由内角和定理得：x+2x+105°=180°，

解得：x=25，

∴∠ENB=2x=50°，

②当点M在AC的延长线上时，如图2所示：

∵DE∥BC，

∴∠ENB=∠NBC，

∵∠MBC=∠NBC，

∴∠NBM=3∠MBC，

设∠MBC=x°，则∠EBN=∠NBM=3x°，∠ENB=∠NBC=2x°，

在△EMB中，由内角和定理得：3x+2x+105°=180°，

解得：x=15，

∴∠ENB=2x=30°，

答：∠ENB的度数为50°或30°．