Question

11．在?ABCD内部有甲、乙两个小正方形，它们的位置摆放如图所示．己知∠A=45°，图中阴影部分的面积为7，则阴影部分的周长为4+8$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 连接DF，则B、F、D三点共线，延长DE交AB于点K，则DK⊥AB，可设DE=x，根据∠A=45°，利用平行四边形的性质可知△DEF、△GFH、△HIC、△ADK和△ABD均为等腰直角三角形，可设DE=x，则可用x表示出阴影部分的面积，从而可求得x，可分求得DE、EF、BF、AD、AB的长，从而可求得答案．

解答 解：
如图，延长DE交AB于点K，连接DF，
∵四边形DEFG为正方形，
∴∠BDE=∠GDF=45°，
∵∠A=45°，且AB∥CD，
∴∠ADC=135°，
∴∠ADB=90°，
∴B、D、F三点共线，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠C=45°，且四边形BIHF为正方形，
∴△DEF、△GFH、△HIC、△ADK和△ABD均为等腰直角三角形，
设DE=EF=x，则DF=FB=FH=$\sqrt{2}$x，
∴AD=BD=2$\sqrt{2}$x，AB=4x，
∴S_阴影=S_△ABD-S_△DEF，
即$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{2}$x）²-（$\frac{1}{2}$）²=7，解得x=$\sqrt{2}$或x=-$\sqrt{2}$（舍去），
∴x=$\sqrt{2}$，
∴DE=EF=$\sqrt{2}$，BF=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2，AD=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=4，AB=4$\sqrt{2}$，
∴AD+DE+EF+BF+AB=4+$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$+2+4$\sqrt{2}$=6+6$\sqrt{2}$，
即阴影部分的周长为6+6$\sqrt{2}$，
故答案为：6+6$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查平行四边形的性质及等腰直角三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键，①平行四边形的两组对边分别平行且相等，②平行四边形的两组对角分别相等，③平行四边形的对角线互相平分．