Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+mx+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴直线x=交x轴于点D．

（1）求m的值；

（2）在抛物线的对称轴上找出点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形，直接写出P点的坐标；

（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，与x轴相交于点H，连接CF、BF、OE，当四边形CDBF的面积最大时，请你说明四边形OCFE的形状．

Answer 1

【答案】（1）（2）P1（，），P2（，﹣），P3（，4）（3）平行四边形

【解析】

试题分析：（1）根据对称轴公式，可得m的值；

（2）根据等腰三角形的定义，可得P点坐标；

（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得EF的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得n的值，根据平行四边形的判定，可得答案．

试题解析：（1）∵对称轴是直线x=，

∴﹣=，

∴m=；

（2）由勾股定理，得

CD=，当CD=DP=时，P（，），（，﹣），

当CD=CP时，设P点坐标为（，b），

∴=，

解得b=4，P（，4），

综上所述：P1（，），P2（，﹣），P3（，4）；

（3）四边形OCFE是平行四边形，

由抛物线y=﹣x2+x+2，

令y=0，﹣ x2+x+2=0，解得x1=﹣1，x2=4，

∴B（4，0），A（﹣1，0），

当x=0时，y=2，即C（0，2），

设BC的解析式为y=kx+b，把B（4，0），C（0，2）代入，得

，解得，

直线BC解析式为y=﹣x+2．

点F在抛物线上，设F的坐标为（n，﹣ n2+n+2），

点E在BC上，E点的坐标为（n，﹣ n+2），

EF=FH﹣EH=﹣n2+2n，

∵，

=BD·CO=×（4﹣1.5）×2=， =EF·OB=×4×（﹣n2+2n）=﹣n2+4n，

=﹣n2+4n+=﹣（n﹣2）2+，

当n=2时，四边形CDBF的面积最大，此时EF=﹣n2+2n=2，EH=﹣n+2=1，OH=2，OE==．

∵OC=EF=2，OC∥EF，

∴四边形OCFE是平行四边形．