Question

已知：如图，△ABC中，AB=4，D是AB边上的一个动点，DE∥BC，连接DC，设△ABC的面积为S，△DCE的面积为S′．
（1）当D为AB边的中点时，求S′：S的值；
（2）若设AD=x，=y，试求y与x之间的函数关系式及x的取值范围．

Answer 1

解：过A作AM⊥BC，交DE于点N，设AD=x，
根据DE∥BC，可以得到===，
则DE=•BC，AN=•AM；
（1）当D为AB中点时，DE是三角形ABC的中位线，
则DE=BC，AN=AM，而S_△ABC=S=•AM•BC，
∴S_△DEC=S′=•AN•DE，
∴S₁：S的值是1：4；

（2）作AM⊥BC，垂足为M，交DE于N点，
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴===，
∴=，
=（•MN•DE）：（•AM•BC）=•=•=
即y=-+x，（0＜x＜4）．
分析：（1）当D为AB中点时，DE是三角形ABC的中位线，DE：BC=1：2，而高线的比也是1：2，则三角形的面积的比就可以求出；
（2）根据相似三角形的性质，可以得到底边DE、BC以及高线之间的关系，就可以求出面积的比．
点评：本题主要考查了相似三角形的性质以及三角形的面积的计算方法．正确表示出=•是解题关键．