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【题目】如图,一小球从斜坡O点处抛出,球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画,斜坡可以用一次函数y= x刻画.

(1)请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标;
(2)小球的落点是A,求点A的坐标;
(3)连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA,求△POA的面积;
(4)在OA上方的抛物线上存在一点M(M与P不重合),△MOA的面积等于△POA的面积.请直接写出点M的坐标.

【答案】
(1)

解:由题意得,y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,

故二次函数图象的最高点P的坐标为(2,4)


(2)

解:联立两解析式可得:

解得: ,或

故可得点A的坐标为(


(3)

解:如图,作PQ⊥x轴于点Q,AB⊥x轴于点B.

SPOA=SPOQ+S梯形PQBA﹣SBOA

= ×2×4+ ×( +4)×( ﹣2)﹣ × ×

=4+

=


(4)

解:过P作OA的平行线,交抛物线于点M,连结OM、AM,则△MOA的面积等于△POA的面积.

设直线PM的解析式为y= x+b,

∵P的坐标为(2,4),

∴4= ×2+b,解得b=3,

∴直线PM的解析式为y= x+3.

,解得

∴点M的坐标为( ).


【解析】(1)利用配方法抛物线的一般式化为顶点式,即可求出二次函数图象的最高点P的坐标;(2)联立两解析式,可求出交点A的坐标;(3)作PQ⊥x轴于点Q,AB⊥x轴于点B.根据SPOA=SPOQ+S梯形PQBA﹣SBOA , 代入数值计算即可求解;(4)过P作OA的平行线,交抛物线于点M,连结OM、AM,由于两平行线之间的距离相等,根据同底等高的两个三角形面积相等,可得△MOA的面积等于△POA的面积.设直线PM的解析式为y= x+b,将P(2,4)代入,求出直线PM的解析式为y= x+3.再与抛物线的解析式联立,得到方程组 ,解方程组即可求出点M的坐标.

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