【题目】如图,一小球从斜坡O点处抛出,球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画,斜坡可以用一次函数y= x刻画.
(1)请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标;
(2)小球的落点是A,求点A的坐标;
(3)连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA,求△POA的面积;
(4)在OA上方的抛物线上存在一点M(M与P不重合),△MOA的面积等于△POA的面积.请直接写出点M的坐标.
【答案】
(1)
解:由题意得,y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,
故二次函数图象的最高点P的坐标为(2,4)
(2)
解:联立两解析式可得: ,
解得: ,或 .
故可得点A的坐标为( , )
(3)
解:如图,作PQ⊥x轴于点Q,AB⊥x轴于点B.
S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA
= ×2×4+ ×( +4)×( ﹣2)﹣ × ×
=4+ ﹣
=
(4)
解:过P作OA的平行线,交抛物线于点M,连结OM、AM,则△MOA的面积等于△POA的面积.
设直线PM的解析式为y= x+b,
∵P的坐标为(2,4),
∴4= ×2+b,解得b=3,
∴直线PM的解析式为y= x+3.
由 ,解得 , ,
∴点M的坐标为( , ).
【解析】(1)利用配方法抛物线的一般式化为顶点式,即可求出二次函数图象的最高点P的坐标;(2)联立两解析式,可求出交点A的坐标;(3)作PQ⊥x轴于点Q,AB⊥x轴于点B.根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA , 代入数值计算即可求解;(4)过P作OA的平行线,交抛物线于点M,连结OM、AM,由于两平行线之间的距离相等,根据同底等高的两个三角形面积相等,可得△MOA的面积等于△POA的面积.设直线PM的解析式为y= x+b,将P(2,4)代入,求出直线PM的解析式为y= x+3.再与抛物线的解析式联立,得到方程组 ,解方程组即可求出点M的坐标.
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【题目】已知,在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点M为边BC的中点,点P为边CD上的动点(点P异于C,D两点).连接PM,过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E(如图),设CP=x,DE=y.
(1)写出y与x之间的关系式;
(2)若点E与点A重合,则x的值为;
(3)是否存在点P,使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上?若存在,求x的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】南沙群岛是我国固有领土,现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业,当渔船航行至B处时,测得该岛位于正北方向20(1+ )海里的C处,为了防止某国海巡警干扰,就请求我A处的渔监船前往C处护航,已知C位于A处的北偏东45°方向上,A位于B的北偏西30°的方向上,求A、C之间的距离.
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【题目】如图,直立于地面上的电线杆AB,在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD,测得BC=6米,CD=4米,∠BCD=150°,在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°,试求电线杆的高度(结果保留根号)
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1.
(1)求证:2a+b=0;
(2)若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4,求方程的另一个根.
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【题目】你会求的值吗?这个问题看上去很复杂,我们可以先考虑简单的情况,通过计算,探索规律:
(1)由上面的规律我们可以大胆猜想,得到
=________________
利用上面的结论,求:
(2)的值。
(3)求的值。
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【题目】已知,如图:在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为A(10,0)、C(0,4),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为
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【题目】如图,在正方形ABCD中,点E,N,P,G分别在边AB,BC,CD,DA上,点M,F,Q都在对角线BD上,且四边形MNPQ和AEFG均为正方形,则 的值等于 .
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