Question

如图，△ABC，分别以AB、AC为边作等边三角形ABD与等边三角形ACE，连接BE、CD，BE的延长线与CD交于点F，连接AF，有以下四个结论：①BE=CD；②FA平分∠EFC；③FE=FD；④FE+FC=FA；其中一定正确的结论有（　　）个．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：先在AF上找到点G使得FG=EF，证出△BAE≌△DAC，可得BE=CD，从而得出①正确；先证出A、E、F、C四点共圆，根据AE=AC，可得FA平分∠EFC，从而得出②正确；根据CF+EF=AF，CF+DF=CD，得出CD≠AF，从而得出FE≠FD，即可得出③错误；根据全等三角形的判定与性质得出△AGE≌△CFE，可得AG=CF，即可求得AF=CF+EF，从而得出④正确；

解答：解：在AF上找到点G使得FG=EF，
∵∠BAE+∠DAE=60°，∠CAD+∠DAE=60°，
∴∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△DAC中，

AB=AD ∠BAE=∠DAC AE=AC

，
∴△BAE≌△DAC，（SAS）
∴BE=CD，①正确；
∠BEA=∠ACD，
∵∠AEB+∠AEF=180°，
∴∠AEF+∠ACF=180°，
∴A、E、F、C四点共圆，
∴∠EFC=120°，
∵AE=AC，
∴∠AFC=∠AFE，即FA平分∠EFC，②正确；
∵FG=EF，∠AFE=60°，
∴△EFG是等边三角形，
∴EF=EG，
∵∠AEG+∠CEG=60°，∠CEG+∠CEF=60°，
∴∠AEG=∠CEF，
在△AGE和△CFE中，

AE=AC ∠AEG=∠CEF EG=EF

，
∴△AGE≌△CFE（SAS），
∴AG=CF，
∵AF=AG+FG，
∴AF=CF+EF，④正确；
∵CF+EF=AF，CF+DF=CD，
CD≠AF，
∴FE=FD，③错误，
∴正确的结论有3个．
故选C．

点评：本题考查了全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质和圆周角原理，证出△BAE≌△DAC和△AGE≌△CFE是解决本题的关键．