Question

【题目】（1）如图1，将直角的顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上，使角的一边交CD于点F，另一边交CB或其延长线于点G，求证：EF=EG；

（2）如图2，将（1）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，其他条件不变．若AB=m，BC=n，试求的值；

（3）如图3，将直角顶点E放在矩形ABCD的对角线交点，EF、EG分别交CD与CB于点F、G，且EC平分∠FEG．若AB=2，BC=4，求EG、EF的长．

考点：四边形综合题．

Answer 1

【答案】

【解析】

试题分析:（1）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、P，然后利用ASA证得Rt△FEP≌Rt△GEH，则问题得证；

（2）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GME∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；

（3）过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足分别为M、N，过点C作CP⊥EG交EG的延长线于点P，过点C作CQ⊥EF垂足为Q，可得四边形EPCQ是矩形，四边形EMCN是矩形，可得EC平分∠FEG，可得矩形EPCQ是正方形，然后易证△PCG≌△QCF（AAS），进而可得：CG=CF，由（2）知：==2，进而可得：EF=2EG，然后易证EM和EN分别是△ABC和△BCD的中位线，进而可得：EM=1，EN=2，MC=2，CN=1，然后易证△EMG∽△ENF，进而可得，即NF=2MG，然后设MG=x，根据CG=CF，列出方程即可解出x的值，即MG的值，然后在Rt△EMG中，由勾股定理即可求出EG的值，进而可得EF的值．

（1）证明：如图1，过点E作EH⊥BC于H，过点E作EP⊥CD于P，

∵四边形ABCD为正方形，

∴CE平分∠BCD，

又∵EH⊥BC，EP⊥CD，

∴EH=EP，

∴四边形EHCP是正方形，

∴∠HEP=90°，

∵∠GEH+∠HEF=90°，∠PEF+∠HEF=90°，

∴∠PEF=∠GEH，

∴Rt△FEP≌Rt△GEH，

∴EF=EG；

（2）解：如图2，过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足分别为M、N，

则∠MEN=90°，

∴EM∥AB，EN∥AD．

∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，

∴，，

∴，

即．

∴，

∴；

（3）解：如图3，

过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足分别为M、N，

过点C作CP⊥EG交EG的延长线于点P，过点C作CQ⊥EF垂足为Q，

则四边形EPCQ是矩形，四边形EMCN是矩形，

∵EC平分∠FEG，

∴CQ=CP，

∴矩形EPCQ是正方形，

∴∠QCP=90°，

∴∠QCG+∠PCG=90°，

∵∠QCG+∠QCF=90°，

∴∠PCG=∠QCF，

在△PCG和△QCF中，

，

∴△PCG≌△QCF（AAS），

∴CG=CF，

由（2）知：=，

∵BC=4，AB=2，

∴==2，

∴EF=2EG，

∵点E放在矩形ABCD的对角线交点，

∴EM和EN分别是△ABC和△BCD的中位线，

∴EM=AB=1，EN=AD==2，MC=，CN=，

∵四边形EMCN是矩形，

∴∠NEM=90°，

∴∠MEG+∠GEN=90°，

∵∠GEF=90°，

∴∠FEN+∠GEN=90°，

∴∠MEG=∠FEN，

∵∠EMG=∠FNE=90°，

∴△EMG∽△ENF，

∴，

即NF=2MG，

设MG=x，则NF=2x，CG=2﹣x，CF=1+2x，

∵CG=CF，

∴2﹣x=1+2x，

解得：x=，

∴MG=，

在Rt△EMG中，由勾股定理得：

EG==，

∵EF=2EG，

∴EF=．