Question

（本题14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．

（1）求线段CD的长；

（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？

Answer 1

（1）4.8；（2），存在，秒或；（3）2.4秒或秒或秒．

【解析】

试题分析：（1）利用勾股定理可求出AB长，再用等积法就可求出线段CD的长．

（2）过点P作PH⊥AC，垂足为H，通过三角形相似即可用t的代数式表示PH，从而可以求出S与t之间的函数关系式；利用S△CPQ：S△ABC=9：100建立t的方程，解方程即可解决问题．

（3）可分三种情况进行讨论：由CQ=CP可建立关于t的方程，从而求出t；由PQ=PC或QC=QP不能直接得到关于t的方程，可借助于等腰三角形的三线合一及三角形相似，即可建立关于t的方程，从而求出t．

试题解析：（1）如图1，

∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10．

∵CD⊥AB，∴S△ABC=BCAC=ABCD．

∴CD=．

∴线段CD的长为4.8．

（2）①过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图2所示．

由题可知DP=t，CQ=t．则CP=4.8﹣t．

∵∠ACB=∠CDB=90°，∴∠HCP=90°﹣∠DCB=∠B．

∵PH⊥AC，∴∠CHP=90°．∴∠CHP=∠ACB．∴△CHP∽△BCA．

∴，∴，∴PH=．

∴S△CPQ=CQPH=．

②存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100．

∵S△ABC=，且S△CPQ：S△ABC=9：100，

∴，整理得：，即，解得：或．

∵，∴当或秒时，S△CPQ：S△ABC=9：100．

（3）①若CQ=CP，如图1，则，解得：．

②若PQ=PC，如图2所示．

∵PQ=PC，PH⊥QC，∴QH=CH=QC=．

∵△CHP∽△BCA，∴．∴．解得：．

③若QC=QP，过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如图3所示．

同理可得：．

综上所述：当t为2.4秒或秒或秒时，△CPQ为等腰三角形．

考点：1．相似形综合题；2．一元二次方程的应用；3．等腰三角形的性质．

考点分析： 考点1：一元二次方程 定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式：
它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中 ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。 考点2：图形的相似 形状相同，大小不同的两个图形相似 试题属性

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