Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

（1）求抛物线的函数表达式

（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；

（3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或

【解析】

（1）利用待定系数法进行求解即可；

（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，则可得△AEK∽△DEF，继而可得，先求出BC的解析式，继而求得AK长，由可得，设点，进而可得，从而可得，再利用二次函数的性质即可求得答案；

（3）先确定出∠ACB=90°，再得出直线的表达式为．设点的坐标为，然后分点在直线右侧，点在直线左侧两种情况分别进行讨论即可．

（1）∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

∴，

∴，

∴抛物线的函数表达式为；

（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点．

则DG//AK，

∴△AEK∽△DEF，

∴，

设直线BC的解析式为y=kx+n，

将、代入则有：，

解得，

∴直线的表达式为，

当x=-1时，，

即K（-1，），

∴．

∵．

∴

设点，则F点坐标为（m，），

∴．

∴，

当时，有最大值．

（3）∵，，．

∴AC=，BC=，AB=5，

∴AC2+BC2=25=52=AB2，

∴∠ACB=90°，

∵过点作直线，直线的表达式为，

∴直线的表达式为．

设点的坐标为．

①当点在直线右侧时，如图，∠BPQ=90°，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥PN于点M，

∴∠M=∠PNB=90°，

∴∠BPN+∠PBN=90°，

∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°，

∴∠QPM=∠PBN，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∵NB=t-4，PN=，

∴，

∴QM=，PM=，

∴MN=+，，

∴点的坐标为．

将点的坐标为代入，得

，

解得：，t2=0（舍去），

此时点的坐标为．

②当点在直线左侧时．如图，∠BPQ=90°，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥PN于点M，

∴∠M=∠PNB=90°，

∴∠BPN+∠PBN=90°，

∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°，

∴∠QPM=∠PBN，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∵NB=4-t，PN=，

∴，

∴QM=，PM=，

∴MN=+，，

∴点的坐标为．

将点的坐标为代入，得

，

解得：，<0（舍去），

此时点的坐标为．