如图.已知Rt△ABC中.∠C=90°.AB=10cm.AC=8cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动.同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动.它们的速度均为2cm/s．连接PQ.设运动的时间为t．解答下列问题:(1)当t为何值时PQ平行于BC,(2)当t为何值时.△APQ与△ABC相似?(3)是否存在某时刻t.使线段PQ恰好把△ABC的周长平分?若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0＜t≤4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时PQ平行于BC；
（2）当t为何值时，△APQ与△ABC相似？
（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的周长平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（4）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）可求得BC=6，且PB=AQ=2t，AP=10-2t，当PQ∥BC时，可得

，代入可得到关于t的方程，可求得t；
（2）分PQ⊥AC和PQ⊥AB，再利用相似得到对应线段的比相等，可得到关于t的方程，代入分别求得t即可；
（3）周长相等，即AP+AQ=PB+BC+CQ，代入可得到关于t的方程，可求得t的值；
（4）过P作PD⊥AC于点D，则PD∥BC，则

，可用t表示出PD，进一步可表示出其面积，令其为△ABC面积的一半即可，可求出t的值，注意结合t的取值范围进行取舍．

解答：解：∵∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm，
∴BC=6cm，
∵P、Q的运动速度为2cm/s，
∴PB=AQ=2t，则AP=10-2t，
（1）当PQ∥BC时，则

，即

10-2t

，解得t=

，
即当

s时PQ∥BC；
（2）∵△ABC为直角三角形，
∴当△APQ和△ABC相似时，必有一个角为直角，
当∠AQP=90°时，则PQ∥BC，由（1）可知t=

，
当∠APQ=90°时，则

，即

10-2t

，解得t=

，
∴当t为

或

时△APQ和△ABC相似；
（3）不存在．理由如下：
当线段PQ恰好把△ABC的周长平分时，则有AP+AQ=PB+BC+CQ，
即10-2t+2t=2t+6+8-2t，整理得10=14，显然不成立，
∴不存在使PQ把△ABC周长平分的t；
（4）存在．
如图，过P作PD⊥AC于点D，则PD∥BC，

∴

，即

10-2t

，解得PD=

30-2t

，
∴S_△APQ=

AQ•PD=

×2t×

30-2t

30t-2t2

，
且S_△ABC=

AC•BC=

×8×6=24，
当线段PQ恰好把△ABC的面积平分时，则有S_△APQ=

S_△ABC，
即

30t-2t2

=12，整理可得t²-15t+30=0，
解得t=

15+5

＞4（舍去）或t=

15-5

，
∴当t=

15-5

时，线段PQ恰好把△ABC的面积平分．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．利用时间和速度表示出线段的长度，结合条件得到关于t的方程是解决这类问题的解题思路，即化动为静．在（2）中注意只有相似但没有对应需要分情况讨论．

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