Question

如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是劣弧

AB

的中点．
（1）试判断四边形OACB的形状，并说明理由；
（2）延长OA至P，使得AP=OA，连接PC，若圆O的半径R=2，求PC长．

Answer 1

考点：圆心角、弧、弦的关系,勾股定理,菱形的判定

专题：

分析：（1）首先连接OC，由A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是劣弧

AB

的中点，易证得△AOC与△BOC都是等边三角形，则可得AC=OA=OC=OB=BC，继而证得四边形OACB是菱形．
（2）由AP=OA，易证得△OPC是直角三角形，然后利用勾股定理求得答案．

解答：解：（1）四边形OACB是菱形．
理由：连接OC，
∵∠AOB=120°，C是劣弧

AB

的中点，
∴∠AOC=∠BOC=

1

2

∠AOB=60°，
∵OA=OC=OB，
∴△AOC与△BOC都是等边三角形，
∴AC=OA=OC=OB=BC，
∴四边形OACB是菱形．

（2）∵AP=OA，AC=OA，
∴AP=AC，
∴∠P=∠ACP=

1

2

∠OAC=30°，
∴∠OCP=90°，
∵R=2，
∴OC=2，OP=4，
∴PC=

OP2-OC2

=2

3

．

点评：此题考查了弧与圆心角的关系、菱形的判定、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．