Question

 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，

   ，，把绕着点顺时针旋转得到，（点旋转到点的位置），抛物线经过,两点，与轴的另一个交点为点，顶点为点，对称轴为直线,

  （1）求该抛物线的解析式；

  （2）联结,求四边形的面积；

  （3）在抛物线上是否存在一点,使得的面积等于四边形的

面积，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）由题意得：B(0,2),C(2,0),对称轴x=3     

设抛物线的解析式为y=a(x-3)²+k

∵抛物线抛物线经过B(0,2),C(2,0),

∴   2=9a+k

     0=a+k                         

解这个方程组得：                   

∴a=,k= -

∴y= (x-3)²-  

 ∴抛物线的解析式为y=x²-   

（2）设对称轴与x轴的交点为N

由图可知：CD=2

    S_△BCD=CDOB=×2×2=2

    S_△pCD=  CDPN= CD︱P_y︱=×2×=

 

∴S_{四边形PCBD}= S_△BCD+ S_△pCD=2                     

 (3)假设存在一点M,使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积

即：S_△MCD= S_{四边形PCBD}

CD︱M_y︱=×

    ︱M_y︱=                                

                                   

又∵点M在抛物线上，

∴︱x²-︱=

∴x²-=±

∴x²-6x+8=±3

∴x²-6x+5=0   或∴x²-6x+11=0

由x²-6x+5=0，得x₁=5,x₂=1

由x²-6x+11=0

∵ b²-4ac=36-44=-8<0

∴此方程无实根。                           

当x₁=5时，y₁=；当x₂=1时，y₂=

∴存在一点M(5, ),或（1，）使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积