Question

【题目】在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣4，0），B （1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）连接AC、BC，判断△ABC的形状，并证明；

（3）若点P为二次函数对称轴上点，求出使△PBC周长最小时，点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；（2）△ABC为直角三角形，理由见解析；（3）当P点坐标为（﹣，）时，△PBC周长最小

【解析】

（1）设交点式y=a（x+4）（x-1），展开得到-4a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；
（2）先利用两点间的距离公式计算出AC2=42+22，BC2=12+22，AB2=25，然后利用勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形；
（3）抛物线的对称轴为直线x=-，连接AC交直线x=-于P点，如图，利用两点之间线段最短得到PB+PC的值最小，则△PBC周长最小，接着利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+2，然后进行自变量为-所对应的函数值即可得到P点坐标．

（1）抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣1），

即y=ax2+3ax﹣4a，

∴﹣4a=2，解得a=﹣，

∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；

（2）△ABC为直角三角形．理由如下：

当x=0时，y=﹣x2﹣x+2=2，则C（0，2），

∵A（﹣4，0），B （1，0），

∴AC2=42+22，BC2=12+22，AB2=52=25，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°；

（3）

抛物线的对称轴为直线x=﹣，

连接AC交直线x=﹣于P点，如图，

∵PA=PB，

∴PB+PC=PA+PC=AC，

∴此时PB+PC的值最小，△PBC周长最小，

设直线AC的解析式为y=kx+m，

把A（﹣4，0），C（0，2）代入得，解得，

∴直线AC的解析式为y=x+2，

当x=﹣时，y=x+2=，则P（﹣，）

∴当P点坐标为（﹣，）时，△PBC周长最小．