Question

【题目】如图，中，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是_________．

Answer 1

【答案】

【解析】

如图，作点Q关于直线BD的对称点Q′，作AM⊥BC于M，由PA+PQ=PA+PQ′，根据垂线段最短可知当A、P、Q′共线，且与AM重合时，PA+PQ的值最小，为线段AM的长，根据三角形的面积求出AM的长即可得．

如图，作AM⊥BC于M，

因为BD平分∠ABC，所以作点Q关于直线BD的对称点Q′，连接PQ′，

∴PQ=PQ′，

∴PA+PQ=PA+PQ′，

∴当A、P、Q′共线时，PA+PQ的值最小，

根据垂线段最短可知A、P、Q′共线且与AM重合时取得最小值，

即PA+PQ的最小值为线段AM的长，

∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，CA=4，

S△ABC=，

∴，

∴AM=，

∴PA+PQ的最小值为，

故答案为：．