Question

如图1，在平面直角坐标系中A（0，8），B（8，O），C（-8，0），连接AB，AC．
（1）试判断△ABC形状并说明理由；
（2）D为线段AB上任意一点，连接OD，作OE⊥OD交AC于E，请求出四边形ADOE的面积；
（3）如图2，若M为线段OA上一点，BM交AC于Q，过A作AK⊥BQ交BC于K，过K作KH⊥CM交AC于H，交BQ的延长线于G，问：若∠MBO=30°，试判断线段BG，BM，BK之间的关系．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质

专题：

分析：（1）由A（0，8），B（8，O），C（-8，0）就可以得出OA=OB=OC=8，BC=16，由勾股定理就可以得出AC=AB=8

2

，就可以求出△ABC是直角三角形而得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质可以得出△ADO≌△BEO就可以得出S_△ADO=S_△BEO，就可以求出四边形ADOE的面积；
（3）由垂直的性质及∠MBO=30°就可以求出∠G=15°，过G作GN⊥x轴交x轴于点N，则在Rt△GNK、Rt△GNB、Rt△KOA和Rt△BOM中可得出三者的关系．

解答：
解：（1）∵A（0，8），B（8，O），C（-8，0），
∴OA=OC=OB=8，
∴AC=BC=8

2

，且∠CAB=45°+45°=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形；

（2）∵OE⊥DO，
∴∠DOA+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°，
∴∠DOA=∠BOE，
在△ADO和△BEO中，

∠DOA=∠BOE AO=BO ∠DAO=∠EBO

，
∴△ADO≌△BEO（ASA），
∴S_△ADO=S_△BEO，
∴S_{四边形ADOE}=S_△ADO+S_△AOE=S_△BEO+S_△AOE=S_△AOB=

1

2

AO•OB=32；

（3）过G作GN⊥x轴交x轴于点N，

∵AK⊥GB，∠MBO=30°，
∴∠KAO+∠AKO=∠KAO+∠MBO=90°，
∴∠KAO=30°，∠AKO=60°，
∵∠CAO=45°，
∴∠CAK=45°-∠KAO=45°-30°=15°，∠
∵GK⊥AC，
∴∠GKA+∠CAK=90°，
∴∠GKA=90°-15°=75°，
∴∠GKC=180°-75°-60°=45°，
在Rt△OMB中，OB=8，
∴OM=

8 3

3

，BM=2OM=

16 3

3

，
在Rt△AKO和Rt△BMO中，

∠AKO=∠MBO ∠AOK=∠BOM AO=BO

，
∴△AKO≌△BMO（AAS），
∴KO=OM=

8 3

3

，
∴BK=8+

8 3

3

，BN=BK+KN=8+

8 3

3

+KN，
∵OM∥GN，
∴

OM

GN

=

BO

BN

，且GN=KN，
∴

8 3 3

GN

=

8

8+ 8 3 3 +GN

∴GN=

16 3

3

+8，
∴BG=

32 3

3

+16，
∴BG=BM+2BK．

点评：本题主要考查等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，（3）中求出线段的长度是解题的关键．