Question

观察一列数1，3，3²，3³…3ⁿ发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，像这样的数列叫做等比数列
（1）如果欲求1+3+3²+3³+…+3²⁰的值，可令S=1+3+3²+3³+…+3²⁰①
    将①式两边都乘以3，得

 

．由②-①，可求得：S=

 

．
（2）若数列a₁，a₂，a₃，…，a_n，从第二项开始，每一项与前一项之比的常数为q，则a_n=

 

（用含a₁，q，n的代数式表示），如果这个常数q≠1，那么运用（1）的方法计算a₁+a₂+a₃+…+a_n（用含a₁，q，n的代数式表示）

Answer 1

考点：规律型：数字的变化类

专题：

分析：（1）根据题中的提示和所给出的数据，可直接得出答案；
（2）由（1）的方法，依次可以推出a₁+a₂+a₃+…+a_n的值，注意分两种情况讨论，从而得出答案．

解答：解：（1）令s=1+3+3²+3³+…+3²⁰，
3S=3+3²+3³+3⁴+…+3²¹，
3S-S=3²¹-1，
S=

1

2

（3²¹-1）；
故答案为：3s=3+3²+3³+3⁴+…+3²¹，

1

2

（3²¹-1）；

（2）∵第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，
∴a_n=a₁q^n-1，
∵S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1 ①，
∴qS_n=a₁q+a₁q²+a₁q³+…+a₁qⁿ ②，
②-①得：S_n=

a1(qn-1)

q-1

．
故答案为：a₁q^n-1．

点评：此题考查了数字的变化类，是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．