Question

12．如图，O是半径为R的正六边形的中心．
（1）求O点到正六边形各边距离之和．
（2）若P点是正六边形内异于O点的任意一点，P点到正六边形各边距离之和与O点到正六边形各边距离之和有什么关系？请说明理由．
（3）类比上述探索过程，直接填写结论：
边心距为d的正三边形内任意一点P到各边距离之和等于3d．（用含d的代数式表示）
边心距为d的正八边形内任意一点P到各边距离之和等于8d．（用含d的代数式表示）
边心距为d的正n边形内任意一点P到各边距离之和等于nd．（用含d、n的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）由正六边形的性质得出△AOB是等边三角形，得出AB=OA=R，AM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$R，由勾股定理求出OM，即可得出结果；
（2）过点P分别作正六边形的三对平行边的垂线段CD、EF、KL，由正六边形的三对平行边之间的距离相等得出CD=EF=KL，由CD=2OM，得出CD+EF+KL=6OM即可；
（3）同（2）即可得出结果．

解答 解：（1）由正六边形的性质得：∠AOB=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=R，AM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$R，
∴OM=$\sqrt{O{A}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
∴O点到正六边形各边距离之和为6OM=3$\sqrt{3}$R；
（2）P点到正六边形各边距离之和与O点到正六边形各边距离之和相等；理由如下：
过点P分别作正六边形的三对平行边的垂线段CD、EF、KL，如图所示：
∵正六边形的三对平行边之间的距离相等，
∴CD=EF=KL，
又∵CD=2OM，
∴CD+EF+KL=6OM=3$\sqrt{3}$R，
即P点到正六边形各边距离之和与O点到正六边形各边距离之和相等；
（3）同（2）得：边心距为d的正三边形内任意一点P到各边距离之和等于3d，
边心距为d的正八边形内任意一点P到各边距离之和等于8d，
边心距为d的正n边形内任意一点P到各边距离之和等于nd；
故答案为：3d，8d，nd．

点评 本题考查了正多边形和圆、正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、类比思想的应用；熟练掌握正六边形的性质，由勾股定理求出OM是解决问题的关键；注意类比思想的应用．