Question

【题目】如图1，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y= （k≠0）的图象交于点A（1，3），B（m，1），与x轴交于点D，直线OA与反比例函数y= （k≠0）的图象的另一支交于点C，过点B作直线l垂直于x轴，点E是点D关于直线l的对称点．

（1）k=；
（2）判断点B，E，C是否在同一条直线上，并说明理由；
（3）如图2，已知点F在x轴正半轴上，OF= ，点P是反比例函数y= （k≠0）的图象位于第一象限部分上的点（点P在点A的上方），∠ABP=∠EBF，则点P的坐标为（ ， ）．

Answer 1

【答案】
（1）3
（2）解：点B、E、C在同一条直线上．理由如下：

∵直线OA与反比例函数y= （k≠0）的图象的另一支交于点C，

∴点A与点C关于原点对称，

∴C（﹣1，﹣3），

∵B（m，1）在反比例函数y= 的图象上，

∴1×m=3，解得m=3，即B（3，1），

把A（1，3）代入y=﹣x+b得﹣1+b=3，解得b=4，

∴直线AB的解析式为y=﹣x+4，

当y=0时，﹣x+4=0，解得x=4，则D（4，0），

∵点E与点D关于直线x=3对称，

∴E（2，0），

设直线BC的解析式为y=px+q，

把B（3，1），C（﹣1，﹣3）代入得 ，解得 ，

∴直线BC的解析式为y=x﹣2，

当x=2时，y=x﹣2=0，

∴点E在直线BC上，

即点B、E、C在同一条直线上；

（3）,
【解析】解：（1）∵A（1，3）在反比例函数y= 的图象上，

∴k=1×3=3；（3）直线AB交y轴于M，直线BP交y轴于N，如图2，

当x=0时，y=﹣x+4=4，则M（0，4），

而B（3，1），E（2，0），F（ ，0），

∴BM= =3 ，BE= = ，EF=2﹣ = ，

∵OM=OD=4，

∴△OMD为等腰直角三角形，

∴∠OMD=∠ODM=45°，

∵点E与点D关于直线x=3对称，

∴∠BED=∠BDE=45°，

∴∠BMN=∠BEF=135°，

∵∠ABP=∠EBF，

∴△BMN∽△BEF，

∴ = ，即 = ，解得MN= ，

∴N（0， ），

设直线BN的解析式为y=ax+n，

把B（3，1），N（0， ）代入得 ，解得 ，

∴直线BN的解析式为y=﹣ x+ ，

解方程组 得 或 ，

∴P点坐标为（ ， ）．

所以答案是3， ， ．