Question

【题目】把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）

（1）当DE⊥AC时，AD与BC的位置关系是　 　，AE与BC的位置关系是　 　；

（2）如图2，当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数；

（3）当旋转角α＝　 　时，△ABD的面积最大．

Answer 1

【答案】（1）垂直，平行；（2）∠BEC＝90°；（3）90°或270°

【解析】

（1）根据题意画出图形，利用三线合一性质可证明AD与BC垂直，再根据平行线的判定可证明AE与BC平行；

（2）利用等腰三角形的性质证明△BAD≌△CAE，求出∠ADB＝∠AEC＝135°，所以∠BEC＝∠AEC﹣45°＝90°；

（3）根据题意画出图形，由题意知，点D的轨迹在以A为圆心，AD为半径的圆上，在△ABD中，当以AB为底时，当点D到AB的距离最大时，△ABD的面积最大，当AD⊥AB时，△ABD的面积最大，所以旋转角为90°或270°．

解：（1）设AC与DE交于点H，

在等腰直角△ABC和△ADE中，

∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，AB＝AC，∠B＝∠C＝45°，

∵DE⊥AC，

∴∠DAH＝∠EAH＝∠DAE＝45°，

∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAH＝45°，

∴∠BAD＝∠DAH，

∴AD⊥BC，

∵∠EAH＝∠C＝45°，

∴AE∥BC，

故答案为：垂直，平行；

（2）在等腰直角△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝90°，

在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，

∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，

∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠ADB＝∠AEC＝180﹣∠ADE＝135°，

∴∠BEC＝∠AEC﹣45°＝135﹣45°＝90°；

（3）由题意知，点D的轨迹在以A为圆心，AD为半径的圆上，如图3﹣1，3﹣2，

在△ABD中，当以AB为底时，当点D到AB的距离最大时，△ABD的面积最大，

故如图3﹣1，3﹣2所示，当AD⊥AB时，△ABD的面积最大，所以旋转角为90°或270°，

故答案为90°或270°．