Question

【题目】（1）操作发现：如图①，点D是等边△ABC的边AB上一动点（点D与点B不重合），连接CD，以CD为边在CD上方作等边△CDE，连接AE，则AE与BD有怎样的数量关系？说明理由．

（2）类比猜想：如图②，若点D是等边△ABC的边BA延长线上一动点，连接CD，以CD为边在CD上方作等边△CDE，连接AE，请直接写出AE与BD满足的数量关系，不必说明理由；

Answer 1

【答案】（1）AE＝BD，理由见解析；（2）AE＝BD．

【解析】

(1)根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质,利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△BCD≌△ACE（SAS）;然后由全等三角形的对应边相等知AE=BD

(2)通过证明△BCD≌△ACE（SAS）,即可证明AE=BD.

解：（1）AE＝BD，理由如下：

∵△ABC和△DCE都是等边三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD，

即∠BCD＝∠ACE，

在△BCD和△ACE中，

，

∴△BCD≌△ACE（SAS），

∴AE＝BD；

（2）AE＝BD．

理由如下：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，

即∠BCD＝∠ACE，

在△BCD和△ACE中，

，

∴△BCD≌△ACE（SAS），

∴AE＝BD；