Question

已知：如图，以△ABC的一边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于D、E两点．

（1）当△ABC为等边三角形时，则图1中△ODE的形状是

 

；
（2）若∠A=60°，AB≠AC（如图2），则（1）的结论是否还成立？请说明理由．

Answer 1

考点：圆周角定理,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由△ABC为等边三角形，可得∠B=∠C=60°．又由OB=OC=OD=OE，即可证得△OBD，△OEC均为等边三角形，继而证得△ODE是等边三角形；
（2）首先连接CD，由BC为⊙O直径，可得∠BDC=90°，继而求得∠DOE=60°，则可证得结论．

解答：（1）答：△ODE为等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∵OB=OC=OD=OE，
∴△OBD，△OEC均为等边三角形．
∴∠BOD=∠COE=60°．
∴∠DOE=60°．
∵OD=OE，
∴△ODE为等边三角形．
故答案为：等边三角形．

（2）答：成立．
证明：如图：连接CD，
∵BC为⊙O直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°．
∵∠A=60°，
∴∠ACD=30°．
∴∠DOE=60°，
∵OD=OE，
∴△DOE为等边三角形．

点评：此题考查了圆周角定理以及等边三角形的判定与性质．此题比较适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．