Question

【题目】综合与探究

如图，抛物线y=﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其对称轴与抛物线交于点D．与x轴交于点E．

（1）求点A，B，D的坐标；

（2）点G为抛物线对称轴上的一个动点，从点D出发，沿直线DE以每秒2个单位长度的速度运动，过点C作x轴的平行线交抛物线于M，N两点（点M在点N的左边）．

设点G的运动时间为ts．

①当t为何值时，以点M，N，B，E为顶点的四边形是平行四边形；

②连接BM，在点G运动的过程中，是否存在点M．使得∠MBD=∠EDB，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点Q为坐标平面内一点，以线段MN为对角线作萎形MENQ，当菱形MENQ为正方形时，请直接写出t的值．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣2，0），B（6，0）；D（2，8）；（2）①见解析；②存在,理由见解析;

（3）t=．

【解析】分析：（1）令y=0，解方程﹣x2+2x+6=0，即可求出A、B点的坐标，把y=﹣x2+2x+6改写成顶点式，根据二次函数的性质求出D点的坐标；

（2）①要使四边形MEBN为平行四边形，则MN=BE=4，根据二次函数的对称性求出点M的坐标，从而求出DG的长，由DG=2t可求出t的值；②设BM交DE于P，如图，设P（2，m），在Rt△BEP中，根据PE2+BE2=PB2，列方程求出m的值，用待定系数法求出直线BP的解析式，与二次函数解析式联立，可求出点M的坐标；

（3）由正方形的性质得GN=GE=8﹣2t，从而表示出点N的坐标，把点N的坐标代入二次函数解析式求出t的值.

详解：（1）当y=0时，﹣x2+2x+6=0，解得x1=﹣2，x2=6，则A（﹣2，0），B（6，0）；

∵y=﹣（x﹣2）2+8，

∴D（2，8）；

（2）①∵E（2，0），B（6，0），

∴BE=4，

∵四边形MEBN为平行四边形，

∴MN=BE=4，

∵MN∥x轴，

∴MG=NG=2，

∴M点的横坐标为0，此时M（0，6）

∴2t=8﹣6，解得t=1，

∴当t为1s时，以点M，N，B，E为顶点的四边形是平行四边形；

②存在．

设BM交DE于P，如图，设P（2，m）

∵∠MBD=∠EDB，

∴PD=PB=8﹣m，

在Rt△BEP中，∵PE2+BE2=PB2，

∴m2+42=（8﹣m）2，解得m=5，

∴P（2，3），

设直线BP的解析式为y=px+q，

把B（6，0），P（2，3）代入得，解得，

∴直线BP的解析式为y=﹣x+，

解方程组得或，

∴M点的坐标为（﹣，）；

（3）GE=8﹣2t，

∵菱形MENQ为正方形时，

∴GN=GE=8﹣2t，

∴N（10﹣2t，8﹣2t），

把N（10﹣2t，8﹣2t）代入y=﹣x2+2x+6得﹣（10﹣2t）2+2（10﹣2t）+6=8﹣2t，

整理得t2﹣9t+16，

∴t=．