Question

5．设有n个数x₁，x₂，…，x_n，它们每个数只能取0，1，-2三个数中的一个，且x₁+x₂+…+x_n=-5，x₁²+x₂²+…+x_n²=19，那么x₁⁵+x₂⁵+…+x_n⁵=-125．

Answer 1

分析 依据x₁+x₂+…+x_n=-5，设有a个-2，2a-5个1，再由x₁²+x₂²+…+x_n²=19可得出a的值，从而能得出x₁⁵+x₂⁵+…+x_n⁵的值，此题得解．

解答 解：由x₁+x₂+…+x_n=-5，可设有a个-2，则有2a-5个1，
又∵x₁²+x₂²+…+x_n²=19，
∴有（-2）²a+（2a-5）×1²=6a-5=19，
解得：a=4，2a-5=3．
x₁⁵+x₂⁵+…+x_n⁵=4×（-2）⁵+3×1⁵=4×（-32）+3=-128+3=-125．
故答案为：-125．

点评 本题考查了数字的变化，解题的关键是：借助x₁+x₂+…+x_n=-5，x₁²+x₂²+…+x_n²=19，找出这n个数中有几个-2、几个1．本题属于基础题，难度不大，做此类题型不要上来就设两个未知数，那样只会加大运算量，可以根据其中一个算式巧设未知数化二为一．