Question

15．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，交BC于D，CH是AB边上的高，交AD于F，DE⊥AB于E，求证：四边形CDEF是菱形．

Answer 1

分析 由角平分线的定义得出DC=DE，由垂线的性质得出CH∥DE，由角的互余关系和对顶角相等得出∠CDF=∠CFD，得出CF=DC，因此CF=DE，得出四边形CDEF是平行四边形，即可得出结论．

解答 证明：∵∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，
∴DC=DE，∠CAD=∠EAD，∠CDF+∠CAD=90°，
∵CH是AB边上的高，
∴CH⊥AB，
∴CH∥DE，∠AFH+∠EAD=90°，
∴∠CDF=∠AFH，
∵∠CFD=∠AFH，
∴∠CDF=∠CFD，
∴CF=DC，
∴CF=DE，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴四边形CDEF是菱形．

点评 本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定、对顶角相等、平行四边形的判定、菱形的判定等知识；本题综合性强，有一定难度，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．