Question

【题目】如图，直线y＝﹣x+m与抛物线y＝ax2+bx都经过点A（6，0），点B，过B作BH垂直x轴于H，OA＝3OH．直线OC与抛物线AB段交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点C的纵坐标是时，求直线OC与直线AB的交点D的坐标；

（3）在（2）的条件下将△OBH沿BA方向平移到△MPN，顶点P始终在线段AB上，求△MPN与△OAC公共部分面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝-x2+3x；（2）(4，2)；（3）

【解析】

（1）先求出直线AB的解析式，求出点B坐标，再将A，B的坐标代入y＝ax2+bx即可；

（2）求出直线AC的解析式，再联立直线OC与直线AB的解析式即可；

（3）设PM与OC、PA分别交于G、H，PN与OC、OA分别交于K、F，分别求出直线OB，PM，OC的解析式，再分别用含a的代数式表示出H，G，E，F的坐标，最后分情况讨论，可求出△MPN与△OAC公共部分面积的最大值．

解：（1）∵直线y＝﹣x+m点A（6，0），

∴﹣6+m＝0，

∴m＝6，

∴yAB＝﹣x+6，

∵OA＝3OH，

∴OH＝2，

在yAB＝﹣x+6中，当x＝2时，y＝4，

∴B（2，4），

将A（6，0），B（2，4）代入y＝ax2+bx，

得，，

解得，a＝﹣，b＝3，

∴抛物线的解析式为y＝-x2+3x；

（2）∵直线OC与抛物线AB段交于点C，且点C的纵坐标是，

∴＝﹣x2+3x，

解得，x1＝1（舍去），x2＝5，

∴C（5，），

设yOC＝kx，

将C（5，）代入，

得，k＝，

∴yOC＝x，

联立，

解得，x＝4，y＝2，

∴点D的坐标为（4，2）；

（3）设直线OB的解析式为yOB＝mx，点P坐标为（a，﹣a+6），

将点B（2，4）代入，

得，m＝2，

∴yOB＝2x，

由平移知，PM∥OB，

∴设直线PM的解析式为yPM＝2x+n，

将P（a，﹣a+6）代入，

得，﹣a+6＝2a+n，

∴n＝6﹣3a，

∴yPM＝2x+6﹣3a，

设PM与OC、PA分别交于G、H，PN与OC、OA分别交于K、F，

联立，

解得，x＝2a﹣4，y＝a﹣2，

∴G（2a﹣4，a﹣2），yG＝a﹣2，

在yPM＝2x+6﹣3a中，

当y＝0时，x＝，

∴E（，0），OE＝，

∵点P的横坐标为a，

∴K（a，a），F（a，0），

∴OF＝a，KF＝a，

设△MPN与△OAC公共部分面积为S，

①当0≤a＜4时，

S＝S△OFK﹣S△OEG，

＝×a×a﹣（）（a﹣2），

＝﹣a2+3a﹣3

＝﹣（a﹣3）2+，

∵﹣＜0，根据二次函数的图象及性质可知，

∴当a＝3时S有最大值；

②当4≤a≤6时，

S＝S△PEF

＝EFPF

＝（a﹣a+3）（﹣a+6）

＝

＝，

∵，根据二次函数的图象及性质知，当a＝4时，S有最大值1；

∵

∴△MPN与△OAC公共部分面积的最大值为．