Question

如图，正六边形ABCDEF中．阴影部分面积为12

3

平方厘米，则此正六边形的边长为

 

．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：

分析：设正六边形的边长为xcm，过点B作BH⊥AC于H，根据正六边形的每一个角都相等求出∠BAF=120°，再求出∠BAC=30°，然后求出BH、AH，再求出AC，再利用三角形的面积公式列方程表示出阴影部分的面积，然后解方程即可．

解答：解：设正六边形的边长为xcm，
如图，过点B作BH⊥AC于H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF=180°-360°÷6=120°，
由正六边形的对称性得，∠BAC=

1

2

×（120°-60°）=30°，
∴BH=

1

2

AB=

1

2

x，
AH=

3

2

AB=

3

2

x，
∴AC=2AH=

3

x，
∴阴影部分的面积=3×

1

2

×

3

x•

1

2

x=

3 3

4

x²，
∵阴影部分面积为12

3

平方厘米，
∴

3 3

4

x²=12

3

，
解得x=4cm，
即此正六边形的边长为为4cm．
故答案为：4cm．

点评：本题考查了正多边形和圆，等腰三角形三线合一的性质，三角形的面积，熟记性质并表示出阴影部分三角形的底边和高是解题的关键．