Question

4．已知：过点P作一直线与半径为R的⊙O相交于A，B两点．求证：PA•PB=|R²-OP²|．

Answer 1

分析 分两种情况：①点P在圆内，过点P作直径CD，如图1，根据相交弦定理得PA•PB=PC•PD，由于而PC=R-OP，PD=R+OP，则PA•PB=（R-OP）（R+OP），然后利用平方差公式展开即可得到结论；
点P在圆外，直线OP交⊙O于C、D，如图2，根据切割线定理得到PA•PB=PC•PD，由于PC=OP-R，PD=OP+R，则PA•PB=（OP-R）（OP+R）=OP²-R²，然后利用平方差公式展开即可得到结论．

解答 证明：①点P在圆内，过点P作直径CD，如图1，

∵PA•PB=PC•PD，
而PC=OC-OP=R-OP，PD=OD+OP=R+OP，
∴PA•PB=（R-OP）（R+OP）=R²-OP²；
②点P在圆外，直线OP交⊙O于C、D，如图2，

∵PCD和PAB都为⊙O的割线，
∴PA•PB=PC•PD，
而PC=OC-OP=OP-R，PD=OD+OP=OP+R，
∴PA•PB=（OP-R）（OP+R）=OP²-R²．
综上所述：PA•PB=|R²-OP²|．

点评 本题考查了切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 也考查了相交弦定理．