Question

15．已知圆的半径为R，试求圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，通过解直角三角形用R分别表示出它们的边长，进而可得出结论．

解答 解：如图①所示，
连接O₁ A，作O₁ E⊥AD于E，
∵O₁ A=R，∠O₁ AE=45°，
∴AE=O₁ A•cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，
∴AD=2AE=$\sqrt{2}$R；
如图②所示：
连接O₂ A，O₂ B，
则O₂ B⊥AC，
∵O₂ A=R，∠O₂ AF=30°，∠AO₂ B=60°，
∴△AO₂ B是等边三角形，AF=O₂A•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
∴AB=R，AC=2AF=$\sqrt{3}$R；
∴圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比$\sqrt{3}$R：$\sqrt{2}$R：R=$\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$：1．

点评 本题考查的是正多边形和圆、解直角三角形；熟知正三角形、正方形和正六边形的性质是解答此题的关键．