Question

5．如图，Rt△ABO在平面直角坐标系中，O为原点，OB在x轴上，∠AOB=60°，点A坐标为（3，3$\sqrt{3}$），点C的坐标为（0，3），点D在第二象限，且△ABO≌△DCO．
（1）请直接写出点D的坐标（-3$\sqrt{3}$，3）；
（2）点P在直线BC上，且△PCD是等腰直角三角形，请画出图形并求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由△ABO≌△DCO，利用全等三角形的性质可得CD=BA，由点A坐标为（3，3$\sqrt{3}$），点C的坐标为（0，3），可得D点的坐标；
（2）首先利用全等三角形的性质可得OC=OB=3，∠BOC=90°，易得∠OBC=45°，分类讨论当CD为直角边时，过点D作P₁D⊥CD，交BC于点P₁，由DC∥OB，可得
△P₁DC为等腰直角三角形，易得${P}_{1}D=DC=3\sqrt{3}$，可得P₁点的坐标；当CD为斜边时，过D点作DP₂⊥BC交BC于点P₂，易得△CDP₂是等腰直角三角形，作P₂E⊥CD，可得CE=DE=$\frac{1}{2}CD$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，易得P₂点的坐标．

解答 解：（1）点D在第二象限，正确画出△COD如图所示，
∵△ABO≌△DCO，
∴CD=BA，
∵点A坐标为（3，3$\sqrt{3}$），点C的坐标为（0，3），
∴D（-3$\sqrt{3}$，3），
故答案为：（-3$\sqrt{3}$，3）；

（2）∵OC=OB=3，∠BOC=90°，
∴∠OBC=45°，
①当CD为直角边时，如图，过点D作P₁D⊥CD，交BC于点P₁，
∵DC∥OB，
∴∠DCP₁=∠OBC=45°，
∴△P₁DC为等腰直角三角形，
∴${P}_{1}D=DC=3\sqrt{3}$，
∴P₁（-3$\sqrt{3}$，3$+3\sqrt{3}$）；
②当CD为斜边时，过D点作DP₂⊥BC交BC于点P₂，
易得△CDP₂是等腰直角三角形，作P₂E⊥CD，
∵CP₂=DP₂，
∴CE=DE=$\frac{1}{2}CD$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴P₂（$-\frac{3\sqrt{3}}{2}$，3$+\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．
综上所述，点P在直线BC上，使△PCD是等腰直角三角形的点P的坐标为（$-3\sqrt{3}$，3$+3\sqrt{3}$），（$-\frac{3\sqrt{3}}{2}，3+\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题主要考查了全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质，利用全等三角形的性质判断∠OBC=45°，分类讨论是解答此题的关键．