Question

10．如图，已知AG与HE相交于点D，点B、C、F分别是DG、HD、AE的中点，若AH=AD，DE=EG．
（1）求证：CF=BF；
（2）若△CFB是等腰直角三角形，则∠DAE+∠DEA等于多少度？

Answer 1

分析 （1）连接AC，BE，由△ADH是等腰三角形，C是DH中点，由等腰三角形的性质可得△ACE为直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得CF=$\frac{1}{2}AE$，同理可得BF=$\frac{1}{2}AE$，可得结论；
（2）由（1）可知△CEF与△ABF均为等腰三角形，由等腰三角形的性质可得∠4=∠6，∠3=∠1，易得∠3+∠4=∠1+∠6，由∠BDC=∠ADE，由三角形的内角和定理可得∠2+∠5=∠3+∠4，等量代换可得∠1+∠6=∠2+∠5，由三角形的内角和定理可得∠1+∠6=∠2+∠5=45°，可得结论．

解答 （1）证明：连接AC，BE，
∵△ADH是等腰三角形，C是DH中点，
∴AC⊥DH，
同理BE⊥DG，
在RT△ACE中，∵F是斜边AE中点，
∴FC=$\frac{1}{2}$AE=EF
∴∠1=∠3
同理BF=$\frac{1}{2}$AE=AF
∴CF=BF；

（2）解：∵BF=AF，CF=EF，
∴∠4=∠6，∠3=∠1，
∴∠3+∠4=∠1+∠6，
∵∠BDC=∠ADE，
∴∠2+∠5=∠3+∠4，
∴∠1+∠6=∠2+∠5，
∵△BCF为等腰直角三角形，
∴∠1+∠2+∠5+∠6=45°+45°=90°，
∴∠1+∠6=∠2+∠5=45°，
∴∠3+∠4=45°，
即∠DAE+∠DEA=45°．

点评 本题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质，连接AC，BE得到直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解答此题的关键．