Question

7．如图，在△ABD中，AD=AB，∠DAB=90°，在△ACE中，AC=AE，∠EAC=90°，CD，BE相交于点F．求证：
（1）DC=BE，且DC⊥BE；
（2）FA平分∠DFE．

Answer 1

分析 （1）由△ABD和△ACE都是等腰直角三角形得出AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=90°，再进一步得出∠DAC=∠BAE证得△ABE≌△ADC，得出结论；
（2）由∠DAB=∠DFB=90°，推出A，D，B，F四点共圆，根据圆周角定理得到∠AFD=∠ABD=45°于是得到∠DFA=$\frac{1}{2}∠$DFE，即可得到结论．

解答 证明：（1）∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴AB=AD，AE=AC，
又∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即：∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADC（SAS）
∴BE=DC，∠ADF=∠ABF，
∵∠ADF+∠FDB+∠DBA=90°，
∴∠FDB+∠DBA+∠ABF=90°，
∴∠DFB=90°，
∴CD⊥BE；

（2）∵∠DAB=∠DFB=90°，
∴A，D，B，F四点共圆，
∴∠AFD=∠ABD=45°
∵CD⊥BE，
∴∠DFA=$\frac{1}{2}∠$DFE，
∴FA平分∠DFE．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，圆周角定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．